Mathenclair

— « Comme ça, on n’a pas besoin de calculer la factorielle de 49 », s’enquit Christophe alors que le serveur déposait un énorme sundae au chocolat devant lui.

— « Non, car vois-tu, sans le crier trop fort, les mathématiciens sont de grands joueurs. Un de leurs passe-temps favoris est de tripoter les équations », dis-je pendant qu’atterrissait un modeste morceau de tarte aux pommes.

— « Crois-moi, c’est un jeu vraiment plaisant, où tous les coups sont permis. Il n’y a qu’une seule règle : il ne faut pas briser l’équilibre », poursuivis-je.

— « L’équilibre? », demanda un Christophe intrigué.

— « Oui! Par équilibre, je veux parler de la valeur d’une équation », répondis-je avant d’engloutir une première bouchée de tarte.

Je poursuivis presque sans respirer.

— « Par exemple, prenons une équation simple : dix divisé par deux. Toi et moi, on sait très bien ce que ça donne.

Mais supposons qu’on n’ait pas le droit de diviser. Comment peut-on trouver la réponse? »

— « En tripotant l’équation, bien entendu! », répondit Christophe sur un ton moqueur.

— « Oui, mais encore? », demandais-je?

— « Je ne sais pas moi, c’est toi qui me parles d’équilibristes qui ne savent pas diviser! », s’exclama Christophe pris de court.

— « Alors, suis-moi. Si je multiplie en haut et en bas par trois, est-ce que je brise l’équilibre? », lui demandais-je.

— « Non, car ça donne trente divisé par six », répondit-il.

— « Si je remplace le dix par deux fois cinq, est-ce que je brise l’équilibre? », continuais-je.

— « Non! », répondit aussitôt Christophe.

— « Si je change le deux et le cinq de place, est-ce que je brise l’équilibre? », demandais-je sans attendre.

— « Bien sûr que non! », confirma Christophe avec une pointe d’exaspération dans la voix.

— « Si je fonds ensemble le deux fois trois pour les remplacer par six, en haut et en bas, est-ce que je brise l’équilibre? »

— « Arrête de me poser la même question, c’est toujours non! », réussit à dire Christophe en engloutissant une autre bouchée de son dessert.

— « OK. Voici mon dernier tripotage. Si je peux multiplier par six en haut et en bas sans changer l’équilibre, je peux aussi retirer le six partout sans danger! », dis-je tout en biffant les six.

— « Et que reste-t-il?

Cinq! Regardes donc ça, c’est la réponse que l’on cherche et on l’a trouvé sans diviser! », ne pus-je me retenir de dire sur un air triomphant.

Après un court répit que j’utilisai pour avaler un second morceau de tarte, je revins à notre question de départ.

— « Regarde bien maintenant, on va s’amuser avec notre petite équation. »

— « J’ai une question facile pour toi, Christophe. Pourquoi les gens utilisent-ils des trucs comme ‘alp’ ou ‘fds’ quand ils clavardent? », dis-je après avoir refermé la carte des desserts.

— « Parce que c’est beaucoup plus court d’écrire ‘fds’ que d’écrire ‘fin de semaine’. », répondit-il.

— « Hé oui! Et laisse-moi te dire que les mathématiciens ne sont pas plus fous que les internautes. Ils ont leurs raccourcis bien à eux. », rétorquai-je.

Je poursuivis en prenant mon crayon.

— « L’opérateur factoriel… si simple et pourtant si inconnu. Je ne comprend pas pourquoi on ne nous montre pas ça dès le secondaire. », soupirai-je.

Christophe m’écoutait, je n’en avais aucun doute. Toutefois, il ne me regardait plus. Il avait les yeux rivés sur le bout de papier que de légères bourrasques de vent tentaient de nous voler, mais que mon verre de bière maintenait fermement sur la table.

— « Voici ce que vaut factorielle de 3… et factorielle de 5. »

Après avoir terminé d’écrire, je tournai la feuille vers Christophe.

— « Tu piges ? »

La réponse ne se fit pas attendre très longtemps.

— « Oui, j’ai compris. Tu multiplies tous les nombres en descendant jusqu’à 1. Factorielle de trois est égale à trois fois deux fois un, c’est-à-dire six. C’est pas très compliqué! », s’exclama Christophe avec un sourire qui en disait long.

— « Ça ressemble drôlement à un raccourci. Pas mal plus simple d’écrire “20!” que d’écrire toute la liste de multiplications de 20 jusqu’à 1. Est-ce tout ce qu’il y a à savoir sur l’opérateur factoriel? », me demanda-t-il.

— « Non. Je veux te faire remarquer que les affaires grossissent rapidement avec l’opérateur factoriel. Par exemple, factorielle de 5 vaut 120 et factorielle de 7 donne 5040. »

Je repris la feuille pour calculer la factorielle de 10.

— « Wow! 3,628,800… ça va vite pas à peu près. », reprit Christophe après avoir vérifié mes multiplications.

Il pointa alors la formule pour trouver le nombre de combinaisons au 6/49.

— « Comment on va faire pour calculer la factorielle de 49 si factorielle de 10 donne plus de trois millions? Ça va nous prendre toute une calculatrice! », me demanda-t-il, soudainement inquiet.

— « Rassure-toi Christophe, je vais te montrer quelque chose de vraiment beau avec l’opérateur factoriel. Regarde. »

Je commençai par écrire la factorielle de 5 suivie de la factorielle de 6 juste en dessous, de façon à lui faire voir que la factorielle de 6 comprend tous les nombres de la factorielle de 5. Ainsi, il pouvait réaliser que la factorielle de 6 est aussi égale à 6 multiplié par la factorielle de 5.

Je repris le même exercice, mais avec la factorielle de 4 pour lui faire voir une autre façon d’écrire la factorielle de 6.

— « T‘as raison, c’est tordu, mais c’est beau. », dit-il. « Je n’y avais pas pensé. La factorielle de 6 comprend la factorielle de 5 ou la factorielle de 4. Ou même de 3 ou de 2, c’est vraiment comme on veut. Mais je ne vois pas comment ça va nous aider à calculer la factorielle de 49. »

— « Qui t’a dit qu’on aurait à calculer la factorielle de 49? », dis-je alors que notre serveur s’amenait pour prendre note des desserts que nous voulions déguster?

— « Combien y a-t-il de possibilités au 6/49? Ce n’est pas la première fois qu’on me pose cette question, mais cette fois-ci, je vais prendre le temps d’y répondre adéquatement. », enchaînai-je.

Christophe piaffait d’impatience : on aurait dit qu’il attendait la réponse depuis le mois dernier. Notre serveur s’affairait à desservir notre table après avoir été informé que nous allions prendre quelques minutes avant de choisir un dessert.

Nous avions mis de côté nos deux napperons de papier, non pas pour les recycler, mais bien parce que j’allais m’en servir. Après avoir *emprunté* le stylo bille de notre serveur, j’étais enfin prêt.

— « Le truc est vraiment simple. Tu vas adorer ça. »

Christophe manipule le français de façon surprenante pour un garçon de son âge, mais il a un truc : sa mère est linguiste. Je saisis l’opportunité qui m’est offerte d’améliorer sa maîtrise de la langue de Molière.

— « Au fait Christophe, j’aimerais souligner qu’on utilise le mot *combinaison* lorsqu’on parle des possibilités au 6/49. Aussi, tu as dit que ma réponse n’était pas un chiffre. J’aurais préféré que tu dises que ma réponse n’était pas un nombre. Emploie le mot *chiffre* pour désigner les caractères et le mot *nombre* pour désigner les quantités. Par exemple, 256 est un nombre de trois chiffres. »

À ce moment-ci, deux choses étaient claires dans ma tête : dorénavant, il valait mieux ne pas me tromper dans mes termes et il était grand temps que je livre le truc.

— « Voici le truc. Pour calculer le nombre de combinaisons possibles à la 6/49, tu as besoin de trois nombres seulement. Les deux premiers te sont donnés par le nom de la loterie : le 6 et le 49. Le troisième n’est rien d’autre que l’écart entre les deux premiers nombres : 43, c’est-à-dire 49 moins 6 ».

Je poursuivis en griffonnant sur un napperon.

— « Ensuite, avec tes trois nombres, tu fais un sandwich équilibré en déposant le 49 par dessus le 43 et le 6.

Tu remarqueras que la somme des deux nombres du bas, 43 plus 6, est égale au nombre du haut, 49. C’est pour ça que je parle de sandwich équilibré. De plus, c’est facile à retenir. », dis-je en encerclant mon petit gribouillis.

— « Pour compléter, tu ajoutes la garniture magique : des points d’exclamation après chaque nombre sans oublier un petit x judicieusement placé dans un endroit stratégique. Et voilà le résultat!!. », dis-je triomphalement.

Après un bref silence, un petit sourire fit lentement son apparition sur le visage de Christophe.

— « Pourquoi ai-je la bizarre impression que tu te payes ma tête? », dit-il.

— « C’est peut-être parce que je sais que tu ne connais pas la signification du point d’exclamation et que je m’amuse à tourner autour du pot. », dis-je en rigolant.

— « Ce qui est le plus drôle, c’est que tu aurais pu apprendre ça au primaire, mais ne t’en fais pas, je l’ai appris au CEGEP! Choisissons-nous un dessert et je vais te présenter l’opérateur factoriel. »

— « Sais-tu combien il y a de possibilités au 6/49? »

Mon filleul Christophe et moi étions attablés sur une terrasse par une belle journée du mois d’août. Christophe, adolescent en pleine expansion physique, avait terminé son hamburger depuis belle lurette et s’adonnait maintenant à un de ses passe-temps favoris : la pêche aux frites dans une mer de ketchup.

— « Oui, je le sais. Je connais même la réponse par coeur. », lui répondis-je.

Je profite toujours du temps que je passe avec Christophe pour m’assurer que les choses se passent bien dans sa vie et si l’occasion se présente, j’aborde aussi des sujets plus sensibles comme la sexualité ou le suicide.

Parfois, nos discussions prennent une direction imprévue. Cette journée-là, on apprenait le suicide d’un jeune père de famille, joueur compulsif, qui croulait sous des dettes de jeu. De fil en aiguille, nous en étions venus à parler de loteries.

— « Y en a combien? », demanda Christophe après un bref silence.

Christophe avait interrompu sa partie de pêche, intrigué que je connaisse la réponse. Ayant mordu une première fois dans mon hamburger, je décidai de frapper un grand coup, car j’avais besoin de temps pour terminer ma première bouchée.

— « Le nombre de possibilités est égal à… factorielle de 49 divisée par factorielle de 43 multiplié par factorielle de 6!! », annonçai-je le plus naturellement du monde.

Le silence qui s’ensuivit fut d’une longueur suffisante pour me donner le temps d’avaler une bonne rasade de bière.

— « Mais ce n’est pas un chiffre ça! », protesta Christophe une fois l’effet de surprise passé.

À son âge, pas question pour Christophe de reconnaître qu’il n’avait rien compris de ce que je venais de dire.

« Au contraire », rétorquai-je, « c’est un nombre », en prenant bien soin de ne pas souligner l’emploi du mot *factorielle* dans ma réponse.

Profitant d’une autre pause, j‘avalai une seconde bouchée de mon hamburger au porc et confit de pommes et j’enchaînai sans tarder :

« En fait, c’est facile à compter quand on connaît le truc! Laisse-moi finir mon hamburger et je vais te le montrer. »