— « Allons-y, Christophe. J’avoue qu’avant même de commencer à charcuter notre fameuse équation, je savais que la partie du bas, la factorielle de 43 et la factorielle de 6, disparaîtrait complètement. »

— « Ah oui… comment ça? »

— « Parce que si la partie du bas, qu’on appelle dénominateur, n’avait pas disparu, on aurait obtenu une réponse impossible. Je vais te donner un bon truc quand tu fais des mathématiques : ne perds jamais de vue le genre de réponse que tu cherches. »

Christophe ne disait plus rien. Il attendait patiemment mes explications. Pour lui faire comprendre où je voulais en venir, je griffonnai quelques secondes sur un bout de papier que je lui montrai dès que j’eus fini.

— « Dans ces quatre divisions, quelles sont celles dont tu peux simplifier le terme du dessous? »

Après un moment de réflexion, Christophe me désigna la première et la dernière division.

— « Tu as bien raison. On peut réécrire ces deux équations de la façon suivante :

Et on voit que, dans le premier cas, le six disparaît et on obtient deux alors que c’est le 5 qui écope dans la seconde équation, qui est égale à trois. »

Je poursuivis mes explications en encerclant les deux équations restantes.

— « Dans le cas du dix divisé par trois, on réalise que cela donne trois et un tiers. De même, dans le cas du neuf divisé par deux, on voit que c’est égal à quatre et demie. Ce que je veux te faire comprendre, c’est que l’on obtient toujours une fraction quand on ne peut pas éliminer le dénominateur (le terme du dessous). »

— « Et on obtient toujours un nombre qui arrive juste quand on peut éliminer le dessous. », poursuivit Christophe.

— « En fait, on parle de nombres entiers et de nombres fractionnaires. », enchaînais-je. « C’est un ou l’autre. Maintenant que tu as pigé, que penserais-tu si, dans un problème où tu dois calculer le nombre d’élèves dans une classe, tu obtiens quarante-cinq élèves et demi comme résultat? »

— « Je me dirais que la classe est trop grosse », dit-il en éclatant de rire.

— « Niaiseux! », lui répondis-je en riant.

— « Excuse-moi, je la trouvais trop bonne. Si j’obtenais un résultat comme ça, je vérifierais mes calculs, car je sais bien que les élèves n’arrivent pas en moitié. »

— « En plein ça! Souviens-toi que l’on cherche le nombre de combinaisons possibles au 6/49. Penses-tu que l’on peut avoir des moitiés de combinaisons? Qu’aurais-tu pensé si je t’avais dit que le nombre de combinaisons possibles au 6/49 est mille cinq cents et demie? »

— « J’aurais pensé que l’un de nous deux est niaiseux! », dit-il en essayant de retenir un sourire narquois.

— « Et tu aurais eu raison de penser comme tel. Je savais dès le départ que la réponse était un nombre entier, un nombre juste comme tu dit. Cela impliquait donc que le dénominateur (les nombres du bas) devait se simplifier (disparaître) sinon on aurait obtenu une fraction, une réponse impossible dans ce cas-ci!

Ne perds jamais de vue ce que tu cherches, sinon tu risques d’écrire de grosses niaiseries! »

— « Voilà votre café monsieur. », dit le serveur en le déposant juste devant moi.

— « Regardes bien notre bête Christophe, elle va passer un mauvais quart d’heure. »

Je décidai tout de suite de m’attaquer au plus gros nombre (49!) en commençant par un petit rappel.

— « À tout seigneur, tout honneur. Débutons avec la factorielle de 49.  »

J’espère que tu n’as pas oublié que la factorielle de peut s’écrire de plusieurs façons. Par exemple :

•        8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
•        8! = 8 x 7!
•        8! = 8 x 7 x 6 x 5!

— Toutes ces façons d’écrire la factorielle de 8 sont équivalentes, c’est-à-dire que ces différentes versions ont toutes la même valeur. Comme j’aime à le dire, tu n’es pas plus riche avec un billet de dix dollars qu’avec cinq pièces de deux dollars. »

— Je vais donc écrire la factorielle de 49 de la façon suivante :

•        49! = 49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44 x 43!

— et la remplacer par son équivalent dans notre équation. Voilà une autre version de notre bête : »

Je savais que Christophe avait compris que je n’avais rien changé à la valeur de l’équation, mais le temps d’un coup d’œil furtif, je vis l’inquiétude s’installer dans son regard. Il faut dire que soudainement, notre bête semblait avoir pris du poids.

Histoire de l’encourager, je lui dit que parfois, quand on veut faire du ménage, il faut commencer par s’étendre, éliminer ce qui n’est plus utile avant de pouvoir remballer le tout et apprécier le travail accomplit.

— « Deuxièmement, je vais réécrire le morceau du bas. Tout comme 2 x 3 est égal à 3 x 2, il n’y a rien de surprenant si je te dis que 43! x 6! est égal à 6! x 43!. Notre monstre a maintenant l’air de ceci :

— As-tu noté l’apparition soudaine du 43! en haut et en bas de notre équation? »

— « En effet, c’est intéressant. », acquiesça Christophe sur un ton suspicieux.

— « Il y a à peine cinq minutes, je t’ai écrit une équation toute simple. Attends un peu que je la retrouve. Voilà.

— Je t’ai demandé si l’équilibre était rompu dans une équation quand on retire un nombre, comme le 6 dans mon exemple, qui multiplie tout le monde en haut et en bas. Tu m’avais répondu que le résultat final est le même que le 6 soit là ou pas.

Tu ne seras pas surpris alors si je retire la factorielle de 43, car la valeur (ou l’équilibre) de l’équation n’est pas changée si on la retire. Voilà notre nouvelle bête. Elle fait bien moins peur maintenant, mais j’en ai pas fini avec elle. »

— « Je commence à trouver ça plaisant ! », s’exclama Christophe sur un ton beaucoup plus enjoué cette fois.

— « Bien content d’entendre ça! », lui répondis-je. « Je ne sais pas si tu l’as réalisé, mais les deux plus gros nombres que l’on avait au départ, c’est-à-dire la factorielle de 49 et la factorielle de 43, sont disparus. Ne t’avais-je pas annoncé plus tôt que nous n’aurions pas à calculer la factorielle de 49? »

Christophe compara la disparition des deux gros nombres (49! et 43!) à deux bagarreurs au hockey qui en viennent aux coups et qui sont tous deux sortis de la rencontre avec une pénalité de match. C’est pas moi qui aurait pensé à cette analogie. Parti sur une si belle lancée, je continuai.

— « C’est le moment de s’occuper de la factorielle de 6. Je vais l’écrire au long. »

•        6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

— « Encore une fois, j’espère que tu seras d’accords avec moi si j’affirme que 2 x 3 x 4 est tout à fait équivalent à 4 x 2 x 3. L’ordre dans lequel je multiplie des nombres ne changera pas le résultat final. »

— « Je suis bien d’accord! On dirait une partie de chaise musicale. », pouffa de rire Christophe en me voyant sourire à sa nouvelle comparaison. Décidément, il était en forme.

— « Si tu veux le voir ainsi, ça me va. », ne puis-je m’empêcher d’ajouter.

— « Maintenant, je change le 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 par 2 x 4 x 6 x 1 x 5 x 3. Tu me suis toujours? »

— « Oui! », dit-il fermement.

— « Parfait! Combien donne 2 x 4 x 6 ? »

— « 48? », dit-il sur un ton interrogateur.

— « En plein ça. Que donne 1 x 3 x 5 ? »

— « 15!! »

— « L’équilibre est-il respecté si je remplace le 2 x 4 x 6 par 48 et le 1 x 3 x 5 par 15 ? »

— « Tout à fait! C’est comme remplacer quatre 25 cents par un dollar ou regrouper des pièces de monnaie. », expliqua Christophe. Décidément, le dessert avait des effets positifs sur le cerveau de mon filleul.

— « Voici un petit résumé de ce que l’on vient de faire :

•        6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 <– la factorielle de 6 écrite au long
•        6! = 2 x 4 x 6 x 1 x 3 x 5 <– partie de chaise musicale qui ne change pas la valeur de 6!
•        6! = 48 x 15 <– un petit regroupement pour terminer

— En fait, si tu calcule 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, tu vas voir que ça donne 720 et que 48 x 15 donne aussi 720. Bref, on a rien changé. L’équilibre est respecté. Si je remplace la factorielle de 6 par son équivalent ( 48 x 15 ) dans ce qui reste de notre monstre de départ, on obtient : »

— « As-tu remarqué qu’il y a encore un nombre qui multiplie tout le monde en haut et en bas? »

— « Cool! On peut donc enlever le 48. », s’exprima Christophe avec une voix amusée.

— « Éh oui! Notre gros chien méchant commence à ressembler à un gentil toutou. »

Christophe était déjà prêt à calculer a réponse.

— « Ça ne sera pas trop compliqué de diviser par quinze. »

— « Peut être, mais on peut aussi éliminer le 15. », dis-je doucement.

— « Ah oui? », laissa échappé Christophe.

— « Bien sûr. Combien donnent 3 x 15 ? », lui demandais-je.

— « 45, non? »

— « C’est ça. Je vais donc remplacer le 45 en haut par 3 x 15 comme ceci. »

— « Étant donné qu’on a un 15 qui multiplie tout le monde en haut et en bas, on l’élimine! Maintenant, on a une équation pour calculer le nombre de combinaisons possibles au 6/49. On n’a aucune division à faire et aucune factorielle à calculer. Pas mal non? »

Christophe regardais la réponse d’un air admiratif.

— « Je dirais même que c’est super. Autrement dit, j’ai seulement à multiplier ces cinq nombres et ça va me donner le nombre exact de combinaisons possibles au 6/49? C’est tout? C’est aussi simple que ça?»

— « Oui. 49! divisé par 43! x 6! est égal à 49 x 47 x 46 x 44 x 3. Retiens que l’on peut faire un bon bout de chemin avec des règles simples. Ce qui faisait peur au début est maintenant devenu une simple multiplication de cinq nombres.

Toutefois, si on calculait le résultat tout de suite, on passerait à côté de deux trucs très importants. Laisse-moi commander un café et je te les montre ensuite. »

— « Non, car vois-tu, sans le crier trop fort, les mathématiciens sont de grands joueurs. Un de leurs passe-temps favoris est de tripoter les équations », dis-je pendant qu’atterrissait un modeste morceau de tarte aux pommes.

— « Crois-moi, c’est un jeu vraiment plaisant, où tous les coups sont permis. Il n’y a qu’une seule règle : il ne faut pas briser l’équilibre », poursuivis-je.

— « L’équilibre? », demanda un Christophe intrigué.

— « Oui! Par équilibre, je veux parler de la valeur d’une équation », répondis-je avant d’engloutir une première bouchée de tarte.

Je poursuivis presque sans respirer.

— « Par exemple, prenons une équation simple : dix divisé par deux. Toi et moi, on sait très bien ce que ça donne.

Mais supposons qu’on n’ait pas le droit de diviser. Comment peut-on trouver la réponse? »

— « En tripotant l’équation, bien entendu! », répondit Christophe sur un ton moqueur.

— « Oui, mais encore? », demandais-je?

— « Je ne sais pas moi, c’est toi qui me parles d’équilibristes qui ne savent pas diviser! », s’exclama Christophe pris de court.

— « Alors, suis-moi. Si je multiplie en haut et en bas par trois, est-ce que je brise l’équilibre? », lui demandais-je.

— « Non, car ça donne trente divisé par six », répondit-il.

— « Si je remplace le dix par deux fois cinq, est-ce que je brise l’équilibre? », continuais-je.

— « Non! », répondit aussitôt Christophe.

— « Si je change le deux et le cinq de place, est-ce que je brise l’équilibre? », demandais-je sans attendre.

— « Bien sûr que non! », confirma Christophe avec une pointe d’exaspération dans la voix.

— « Si je fonds ensemble le deux fois trois pour les remplacer par six, en haut et en bas, est-ce que je brise l’équilibre? »

— « Arrête de me poser la même question, c’est toujours non! », réussit à dire Christophe en engloutissant une autre bouchée de son dessert.

— « OK. Voici mon dernier tripotage. Si je peux multiplier par six en haut et en bas sans changer l’équilibre, je peux aussi retirer le six partout sans danger! », dis-je tout en biffant les six.

— « Et que reste-t-il?

Cinq! Regardes donc ça, c’est la réponse que l’on cherche et on l’a trouvé sans diviser! », ne pus-je me retenir de dire sur un air triomphant.

Après un court répit que j’utilisai pour avaler un second morceau de tarte, je revins à notre question de départ.

— « Regarde bien maintenant, on va s’amuser avec notre petite équation. »

— « Parce que c’est beaucoup plus court d’écrire ‘fds’ que d’écrire ‘fin de semaine’. », répondit-il.

— « Hé oui! Et laisse-moi te dire que les mathématiciens ne sont pas plus fous que les internautes. Ils ont leurs raccourcis bien à eux. », rétorquai-je.

Je poursuivis en prenant mon crayon.

— « L’opérateur factoriel… si simple et pourtant si inconnu. Je ne comprend pas pourquoi on ne nous montre pas ça dès le secondaire. », soupirai-je.

Christophe m’écoutait, je n’en avais aucun doute. Toutefois, il ne me regardait plus. Il avait les yeux rivés sur le bout de papier que de légères bourrasques de vent tentaient de nous voler, mais que mon verre de bière maintenait fermement sur la table.

— « Voici ce que vaut factorielle de 3… et factorielle de 5. »

Après avoir terminé d’écrire, je tournai la feuille vers Christophe.

— « Tu piges ? »

La réponse ne se fit pas attendre très longtemps.

— « Oui, j’ai compris. Tu multiplies tous les nombres en descendant jusqu’à 1. Factorielle de trois est égale à trois fois deux fois un, c’est-à-dire six. C’est pas très compliqué! », s’exclama Christophe avec un sourire qui en disait long.

— « Ça ressemble drôlement à un raccourci. Pas mal plus simple d’écrire “20!” que d’écrire toute la liste de multiplications de 20 jusqu’à 1. Est-ce tout ce qu’il y a à savoir sur l’opérateur factoriel? », me demanda-t-il.

— « Non. Je veux te faire remarquer que les affaires grossissent rapidement avec l’opérateur factoriel. Par exemple, factorielle de 5 vaut 120 et factorielle de 7 donne 5040. »

Je repris la feuille pour calculer la factorielle de 10.

— « Wow! 3,628,800… ça va vite pas à peu près. », reprit Christophe après avoir vérifié mes multiplications.

Il pointa alors la formule pour trouver le nombre de combinaisons au 6/49.

— « Comment on va faire pour calculer la factorielle de 49 si factorielle de 10 donne plus de trois millions? Ça va nous prendre toute une calculatrice! », me demanda-t-il, soudainement inquiet.

— « Rassure-toi Christophe, je vais te montrer quelque chose de vraiment beau avec l’opérateur factoriel. Regarde. »

Je commençai par écrire la factorielle de 5 suivie de la factorielle de 6 juste en dessous, de façon à lui faire voir que la factorielle de 6 comprend tous les nombres de la factorielle de 5. Ainsi, il pouvait réaliser que la factorielle de 6 est aussi égale à 6 multiplié par la factorielle de 5.

Je repris le même exercice, mais avec la factorielle de 4 pour lui faire voir une autre façon d’écrire la factorielle de 6.

— « T‘as raison, c’est tordu, mais c’est beau. », dit-il. « Je n’y avais pas pensé. La factorielle de 6 comprend la factorielle de 5 ou la factorielle de 4. Ou même de 3 ou de 2, c’est vraiment comme on veut. Mais je ne vois pas comment ça va nous aider à calculer la factorielle de 49. »

— « Qui t’a dit qu’on aurait à calculer la factorielle de 49? », dis-je alors que notre serveur s’amenait pour prendre note des desserts que nous voulions déguster?

Christophe piaffait d’impatience : on aurait dit qu’il attendait la réponse depuis le mois dernier. Notre serveur s’affairait à desservir notre table après avoir été informé que nous allions prendre quelques minutes avant de choisir un dessert.

Nous avions mis de côté nos deux napperons de papier, non pas pour les recycler, mais bien parce que j’allais m’en servir. Après avoir *emprunté* le stylo bille de notre serveur, j’étais enfin prêt.

— « Le truc est vraiment simple. Tu vas adorer ça. »

Christophe manipule le français de façon surprenante pour un garçon de son âge, mais il a un truc : sa mère est linguiste. Je saisis l’opportunité qui m’est offerte d’améliorer sa maîtrise de la langue de Molière.

— « Au fait Christophe, j’aimerais souligner qu’on utilise le mot *combinaison* lorsqu’on parle des possibilités au 6/49. Aussi, tu as dit que ma réponse n’était pas un chiffre. J’aurais préféré que tu dises que ma réponse n’était pas un nombre. Emploie le mot *chiffre* pour désigner les caractères et le mot *nombre* pour désigner les quantités. Par exemple, 256 est un nombre de trois chiffres. »

À ce moment-ci, deux choses étaient claires dans ma tête : dorénavant, il valait mieux ne pas me tromper dans mes termes et il était grand temps que je livre le truc.

— « Voici le truc. Pour calculer le nombre de combinaisons possibles à la 6/49, tu as besoin de trois nombres seulement. Les deux premiers te sont donnés par le nom de la loterie : le 6 et le 49. Le troisième n’est rien d’autre que l’écart entre les deux premiers nombres : 43, c’est-à-dire 49 moins 6 ».

Je poursuivis en griffonnant sur un napperon.

— « Ensuite, avec tes trois nombres, tu fais un sandwich équilibré en déposant le 49 par dessus le 43 et le 6.

Tu remarqueras que la somme des deux nombres du bas, 43 plus 6, est égale au nombre du haut, 49. C’est pour ça que je parle de sandwich équilibré. De plus, c’est facile à retenir. », dis-je en encerclant mon petit gribouillis.

— « Pour compléter, tu ajoutes la garniture magique : des points d’exclamation après chaque nombre sans oublier un petit x judicieusement placé dans un endroit stratégique. Et voilà le résultat!!. », dis-je triomphalement.

Après un bref silence, un petit sourire fit lentement son apparition sur le visage de Christophe.

— « Pourquoi ai-je la bizarre impression que tu te payes ma tête? », dit-il.

— « C’est peut-être parce que je sais que tu ne connais pas la signification du point d’exclamation et que je m’amuse à tourner autour du pot. », dis-je en rigolant.

— « Ce qui est le plus drôle, c’est que tu aurais pu apprendre ça au primaire, mais ne t’en fais pas, je l’ai appris au CEGEP! Choisissons-nous un dessert et je vais te présenter l’opérateur factoriel. »

Mon filleul Christophe et moi étions attablés sur une terrasse par une belle journée du mois d’août. Christophe, adolescent en pleine expansion physique, avait terminé son hamburger depuis belle lurette et s’adonnait maintenant à un de ses passe-temps favoris : la pêche aux frites dans une mer de ketchup.

— « Oui, je le sais. Je connais même la réponse par coeur. », lui répondis-je.

Je profite toujours du temps que je passe avec Christophe pour m’assurer que les choses se passent bien dans sa vie et si l’occasion se présente, j’aborde aussi des sujets plus sensibles comme la sexualité ou le suicide.

Parfois, nos discussions prennent une direction imprévue. Cette journée-là, on apprenait le suicide d’un jeune père de famille, joueur compulsif, qui croulait sous des dettes de jeu. De fil en aiguille, nous en étions venus à parler de loteries.

— « Y en a combien? », demanda Christophe après un bref silence.

Christophe avait interrompu sa partie de pêche, intrigué que je connaisse la réponse. Ayant mordu une première fois dans mon hamburger, je décidai de frapper un grand coup, car j’avais besoin de temps pour terminer ma première bouchée.

— « Le nombre de possibilités est égal à… factorielle de 49 divisée par factorielle de 43 multiplié par factorielle de 6!! », annonçai-je le plus naturellement du monde.

Le silence qui s’ensuivit fut d’une longueur suffisante pour me donner le temps d’avaler une bonne rasade de bière.

— « Mais ce n’est pas un chiffre ça! », protesta Christophe une fois l’effet de surprise passé.

À son âge, pas question pour Christophe de reconnaître qu’il n’avait rien compris de ce que je venais de dire.

« Au contraire », rétorquai-je, « c’est un nombre », en prenant bien soin de ne pas souligner l’emploi du mot *factorielle* dans ma réponse.

Profitant d’une autre pause, j‘avalai une seconde bouchée de mon hamburger au porc et confit de pommes et j’enchaînai sans tarder :

« En fait, c’est facile à compter quand on connaît le truc! Laisse-moi finir mon hamburger et je vais te le montrer. »