Mathenclair

Après avoir terminé un dessert, je me sens toujours plus d’attaque. Ce doit être l’apport de sucre dans mes veines qui me fait cet effet.

— « Regardes bien notre bête Christophe, elle va passer un mauvais quart d’heure. »

Je décidai tout de suite de m’attaquer au plus gros nombre (49!) en commençant par un petit rappel.

— « À tout seigneur, tout honneur. Débutons avec la factorielle de 49.  »

J’espère que tu n’as pas oublié que la factorielle de peut s’écrire de plusieurs façons. Par exemple :

•        8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
•        8! = 8 x 7!
•        8! = 8 x 7 x 6 x 5!

— Toutes ces façons d’écrire la factorielle de 8 sont équivalentes, c’est-à-dire que ces différentes versions ont toutes la même valeur. Comme j’aime à le dire, tu n’es pas plus riche avec un billet de dix dollars qu’avec cinq pièces de deux dollars. »

— Je vais donc écrire la factorielle de 49 de la façon suivante :

•        49! = 49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44 x 43!

— et la remplacer par son équivalent dans notre équation. Voilà une autre version de notre bête : »

Je savais que Christophe avait compris que je n’avais rien changé à la valeur de l’équation, mais le temps d’un coup d’œil furtif, je vis l’inquiétude s’installer dans son regard. Il faut dire que soudainement, notre bête semblait avoir pris du poids.

Histoire de l’encourager, je lui dit que parfois, quand on veut faire du ménage, il faut commencer par s’étendre, éliminer ce qui n’est plus utile avant de pouvoir remballer le tout et apprécier le travail accomplit.

— « Deuxièmement, je vais réécrire le morceau du bas. Tout comme 2 x 3 est égal à 3 x 2, il n’y a rien de surprenant si je te dis que 43! x 6! est égal à 6! x 43!. Notre monstre a maintenant l’air de ceci :

— As-tu noté l’apparition soudaine du 43! en haut et en bas de notre équation? »

— « En effet, c’est intéressant. », acquiesça Christophe sur un ton suspicieux.

— « Il y a à peine cinq minutes, je t’ai écrit une équation toute simple. Attends un peu que je la retrouve. Voilà.

— Je t’ai demandé si l’équilibre était rompu dans une équation quand on retire un nombre, comme le 6 dans mon exemple, qui multiplie tout le monde en haut et en bas. Tu m’avais répondu que le résultat final est le même que le 6 soit là ou pas.

Tu ne seras pas surpris alors si je retire la factorielle de 43, car la valeur (ou l’équilibre) de l’équation n’est pas changée si on la retire. Voilà notre nouvelle bête. Elle fait bien moins peur maintenant, mais j’en ai pas fini avec elle. »

— « Je commence à trouver ça plaisant ! », s’exclama Christophe sur un ton beaucoup plus enjoué cette fois.

— « Bien content d’entendre ça! », lui répondis-je. « Je ne sais pas si tu l’as réalisé, mais les deux plus gros nombres que l’on avait au départ, c’est-à-dire la factorielle de 49 et la factorielle de 43, sont disparus. Ne t’avais-je pas annoncé plus tôt que nous n’aurions pas à calculer la factorielle de 49? »

Christophe compara la disparition des deux gros nombres (49! et 43!) à deux bagarreurs au hockey qui en viennent aux coups et qui sont tous deux sortis de la rencontre avec une pénalité de match. C’est pas moi qui aurait pensé à cette analogie. Parti sur une si belle lancée, je continuai.

— « C’est le moment de s’occuper de la factorielle de 6. Je vais l’écrire au long. »

•        6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

— « Encore une fois, j’espère que tu seras d’accords avec moi si j’affirme que 2 x 3 x 4 est tout à fait équivalent à 4 x 2 x 3. L’ordre dans lequel je multiplie des nombres ne changera pas le résultat final. »

— « Je suis bien d’accord! On dirait une partie de chaise musicale. », pouffa de rire Christophe en me voyant sourire à sa nouvelle comparaison. Décidément, il était en forme.

— « Si tu veux le voir ainsi, ça me va. », ne puis-je m’empêcher d’ajouter.

— « Maintenant, je change le 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 par 2 x 4 x 6 x 1 x 5 x 3. Tu me suis toujours? »

— « Oui! », dit-il fermement.

— « Parfait! Combien donne 2 x 4 x 6 ? »

— « 48? », dit-il sur un ton interrogateur.

— « En plein ça. Que donne 1 x 3 x 5 ? »

— « 15!! »

— « L’équilibre est-il respecté si je remplace le 2 x 4 x 6 par 48 et le 1 x 3 x 5 par 15 ? »

— « Tout à fait! C’est comme remplacer quatre 25 cents par un dollar ou regrouper des pièces de monnaie. », expliqua Christophe. Décidément, le dessert avait des effets positifs sur le cerveau de mon filleul.

— « Voici un petit résumé de ce que l’on vient de faire :

•        6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 <– la factorielle de 6 écrite au long
•        6! = 2 x 4 x 6 x 1 x 3 x 5 <– partie de chaise musicale qui ne change pas la valeur de 6!
•        6! = 48 x 15 <– un petit regroupement pour terminer

— En fait, si tu calcule 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, tu vas voir que ça donne 720 et que 48 x 15 donne aussi 720. Bref, on a rien changé. L’équilibre est respecté. Si je remplace la factorielle de 6 par son équivalent ( 48 x 15 ) dans ce qui reste de notre monstre de départ, on obtient : »

— « As-tu remarqué qu’il y a encore un nombre qui multiplie tout le monde en haut et en bas? »

— « Cool! On peut donc enlever le 48. », s’exprima Christophe avec une voix amusée.

— « Éh oui! Notre gros chien méchant commence à ressembler à un gentil toutou. »

Christophe était déjà prêt à calculer a réponse.

— « Ça ne sera pas trop compliqué de diviser par quinze. »

— « Peut être, mais on peut aussi éliminer le 15. », dis-je doucement.

— « Ah oui? », laissa échappé Christophe.

— « Bien sûr. Combien donnent 3 x 15 ? », lui demandais-je.

— « 45, non? »

— « C’est ça. Je vais donc remplacer le 45 en haut par 3 x 15 comme ceci. »

— « Étant donné qu’on a un 15 qui multiplie tout le monde en haut et en bas, on l’élimine! Maintenant, on a une équation pour calculer le nombre de combinaisons possibles au 6/49. On n’a aucune division à faire et aucune factorielle à calculer. Pas mal non? »

Christophe regardais la réponse d’un air admiratif.

— « Je dirais même que c’est super. Autrement dit, j’ai seulement à multiplier ces cinq nombres et ça va me donner le nombre exact de combinaisons possibles au 6/49? C’est tout? C’est aussi simple que ça?»

— « Oui. 49! divisé par 43! x 6! est égal à 49 x 47 x 46 x 44 x 3. Retiens que l’on peut faire un bon bout de chemin avec des règles simples. Ce qui faisait peur au début est maintenant devenu une simple multiplication de cinq nombres.

Toutefois, si on calculait le résultat tout de suite, on passerait à côté de deux trucs très importants. Laisse-moi commander un café et je te les montre ensuite. »

— « J’ai une question facile pour toi, Christophe. Pourquoi les gens utilisent-ils des trucs comme ‘alp’ ou ‘fds’ quand ils clavardent? », dis-je après avoir refermé la carte des desserts.

— « Parce que c’est beaucoup plus court d’écrire ‘fds’ que d’écrire ‘fin de semaine’. », répondit-il.

— « Hé oui! Et laisse-moi te dire que les mathématiciens ne sont pas plus fous que les internautes. Ils ont leurs raccourcis bien à eux. », rétorquai-je.

Je poursuivis en prenant mon crayon.

— « L’opérateur factoriel… si simple et pourtant si inconnu. Je ne comprend pas pourquoi on ne nous montre pas ça dès le secondaire. », soupirai-je.

Christophe m’écoutait, je n’en avais aucun doute. Toutefois, il ne me regardait plus. Il avait les yeux rivés sur le bout de papier que de légères bourrasques de vent tentaient de nous voler, mais que mon verre de bière maintenait fermement sur la table.

— « Voici ce que vaut factorielle de 3… et factorielle de 5. »

Après avoir terminé d’écrire, je tournai la feuille vers Christophe.

— « Tu piges ? »

La réponse ne se fit pas attendre très longtemps.

— « Oui, j’ai compris. Tu multiplies tous les nombres en descendant jusqu’à 1. Factorielle de trois est égale à trois fois deux fois un, c’est-à-dire six. C’est pas très compliqué! », s’exclama Christophe avec un sourire qui en disait long.

— « Ça ressemble drôlement à un raccourci. Pas mal plus simple d’écrire “20!” que d’écrire toute la liste de multiplications de 20 jusqu’à 1. Est-ce tout ce qu’il y a à savoir sur l’opérateur factoriel? », me demanda-t-il.

— « Non. Je veux te faire remarquer que les affaires grossissent rapidement avec l’opérateur factoriel. Par exemple, factorielle de 5 vaut 120 et factorielle de 7 donne 5040. »

Je repris la feuille pour calculer la factorielle de 10.

— « Wow! 3,628,800… ça va vite pas à peu près. », reprit Christophe après avoir vérifié mes multiplications.

Il pointa alors la formule pour trouver le nombre de combinaisons au 6/49.

— « Comment on va faire pour calculer la factorielle de 49 si factorielle de 10 donne plus de trois millions? Ça va nous prendre toute une calculatrice! », me demanda-t-il, soudainement inquiet.

— « Rassure-toi Christophe, je vais te montrer quelque chose de vraiment beau avec l’opérateur factoriel. Regarde. »

Je commençai par écrire la factorielle de 5 suivie de la factorielle de 6 juste en dessous, de façon à lui faire voir que la factorielle de 6 comprend tous les nombres de la factorielle de 5. Ainsi, il pouvait réaliser que la factorielle de 6 est aussi égale à 6 multiplié par la factorielle de 5.

Je repris le même exercice, mais avec la factorielle de 4 pour lui faire voir une autre façon d’écrire la factorielle de 6.

— « T‘as raison, c’est tordu, mais c’est beau. », dit-il. « Je n’y avais pas pensé. La factorielle de 6 comprend la factorielle de 5 ou la factorielle de 4. Ou même de 3 ou de 2, c’est vraiment comme on veut. Mais je ne vois pas comment ça va nous aider à calculer la factorielle de 49. »

— « Qui t’a dit qu’on aurait à calculer la factorielle de 49? », dis-je alors que notre serveur s’amenait pour prendre note des desserts que nous voulions déguster?