Mathenclair

Après avoir terminé un dessert, je me sens toujours plus d’attaque. Ce doit être l’apport de sucre dans mes veines qui me fait cet effet.

— « Regardes bien notre bête Christophe, elle va passer un mauvais quart d’heure. »

Je décidai tout de suite de m’attaquer au plus gros nombre (49!) en commençant par un petit rappel.

— « À tout seigneur, tout honneur. Débutons avec la factorielle de 49.  »

J’espère que tu n’as pas oublié que la factorielle de peut s’écrire de plusieurs façons. Par exemple :

•        8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
•        8! = 8 x 7!
•        8! = 8 x 7 x 6 x 5!

— Toutes ces façons d’écrire la factorielle de 8 sont équivalentes, c’est-à-dire que ces différentes versions ont toutes la même valeur. Comme j’aime à le dire, tu n’es pas plus riche avec un billet de dix dollars qu’avec cinq pièces de deux dollars. »

— Je vais donc écrire la factorielle de 49 de la façon suivante :

•        49! = 49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44 x 43!

— et la remplacer par son équivalent dans notre équation. Voilà une autre version de notre bête : »

Je savais que Christophe avait compris que je n’avais rien changé à la valeur de l’équation, mais le temps d’un coup d’œil furtif, je vis l’inquiétude s’installer dans son regard. Il faut dire que soudainement, notre bête semblait avoir pris du poids.

Histoire de l’encourager, je lui dit que parfois, quand on veut faire du ménage, il faut commencer par s’étendre, éliminer ce qui n’est plus utile avant de pouvoir remballer le tout et apprécier le travail accomplit.

— « Deuxièmement, je vais réécrire le morceau du bas. Tout comme 2 x 3 est égal à 3 x 2, il n’y a rien de surprenant si je te dis que 43! x 6! est égal à 6! x 43!. Notre monstre a maintenant l’air de ceci :

— As-tu noté l’apparition soudaine du 43! en haut et en bas de notre équation? »

— « En effet, c’est intéressant. », acquiesça Christophe sur un ton suspicieux.

— « Il y a à peine cinq minutes, je t’ai écrit une équation toute simple. Attends un peu que je la retrouve. Voilà.

— Je t’ai demandé si l’équilibre était rompu dans une équation quand on retire un nombre, comme le 6 dans mon exemple, qui multiplie tout le monde en haut et en bas. Tu m’avais répondu que le résultat final est le même que le 6 soit là ou pas.

Tu ne seras pas surpris alors si je retire la factorielle de 43, car la valeur (ou l’équilibre) de l’équation n’est pas changée si on la retire. Voilà notre nouvelle bête. Elle fait bien moins peur maintenant, mais j’en ai pas fini avec elle. »

— « Je commence à trouver ça plaisant ! », s’exclama Christophe sur un ton beaucoup plus enjoué cette fois.

— « Bien content d’entendre ça! », lui répondis-je. « Je ne sais pas si tu l’as réalisé, mais les deux plus gros nombres que l’on avait au départ, c’est-à-dire la factorielle de 49 et la factorielle de 43, sont disparus. Ne t’avais-je pas annoncé plus tôt que nous n’aurions pas à calculer la factorielle de 49? »

Christophe compara la disparition des deux gros nombres (49! et 43!) à deux bagarreurs au hockey qui en viennent aux coups et qui sont tous deux sortis de la rencontre avec une pénalité de match. C’est pas moi qui aurait pensé à cette analogie. Parti sur une si belle lancée, je continuai.

— « C’est le moment de s’occuper de la factorielle de 6. Je vais l’écrire au long. »

•        6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

— « Encore une fois, j’espère que tu seras d’accords avec moi si j’affirme que 2 x 3 x 4 est tout à fait équivalent à 4 x 2 x 3. L’ordre dans lequel je multiplie des nombres ne changera pas le résultat final. »

— « Je suis bien d’accord! On dirait une partie de chaise musicale. », pouffa de rire Christophe en me voyant sourire à sa nouvelle comparaison. Décidément, il était en forme.

— « Si tu veux le voir ainsi, ça me va. », ne puis-je m’empêcher d’ajouter.

— « Maintenant, je change le 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 par 2 x 4 x 6 x 1 x 5 x 3. Tu me suis toujours? »

— « Oui! », dit-il fermement.

— « Parfait! Combien donne 2 x 4 x 6 ? »

— « 48? », dit-il sur un ton interrogateur.

— « En plein ça. Que donne 1 x 3 x 5 ? »

— « 15!! »

— « L’équilibre est-il respecté si je remplace le 2 x 4 x 6 par 48 et le 1 x 3 x 5 par 15 ? »

— « Tout à fait! C’est comme remplacer quatre 25 cents par un dollar ou regrouper des pièces de monnaie. », expliqua Christophe. Décidément, le dessert avait des effets positifs sur le cerveau de mon filleul.

— « Voici un petit résumé de ce que l’on vient de faire :

•        6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 <– la factorielle de 6 écrite au long
•        6! = 2 x 4 x 6 x 1 x 3 x 5 <– partie de chaise musicale qui ne change pas la valeur de 6!
•        6! = 48 x 15 <– un petit regroupement pour terminer

— En fait, si tu calcule 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, tu vas voir que ça donne 720 et que 48 x 15 donne aussi 720. Bref, on a rien changé. L’équilibre est respecté. Si je remplace la factorielle de 6 par son équivalent ( 48 x 15 ) dans ce qui reste de notre monstre de départ, on obtient : »

— « As-tu remarqué qu’il y a encore un nombre qui multiplie tout le monde en haut et en bas? »

— « Cool! On peut donc enlever le 48. », s’exprima Christophe avec une voix amusée.

— « Éh oui! Notre gros chien méchant commence à ressembler à un gentil toutou. »

Christophe était déjà prêt à calculer a réponse.

— « Ça ne sera pas trop compliqué de diviser par quinze. »

— « Peut être, mais on peut aussi éliminer le 15. », dis-je doucement.

— « Ah oui? », laissa échappé Christophe.

— « Bien sûr. Combien donnent 3 x 15 ? », lui demandais-je.

— « 45, non? »

— « C’est ça. Je vais donc remplacer le 45 en haut par 3 x 15 comme ceci. »

— « Étant donné qu’on a un 15 qui multiplie tout le monde en haut et en bas, on l’élimine! Maintenant, on a une équation pour calculer le nombre de combinaisons possibles au 6/49. On n’a aucune division à faire et aucune factorielle à calculer. Pas mal non? »

Christophe regardais la réponse d’un air admiratif.

— « Je dirais même que c’est super. Autrement dit, j’ai seulement à multiplier ces cinq nombres et ça va me donner le nombre exact de combinaisons possibles au 6/49? C’est tout? C’est aussi simple que ça?»

— « Oui. 49! divisé par 43! x 6! est égal à 49 x 47 x 46 x 44 x 3. Retiens que l’on peut faire un bon bout de chemin avec des règles simples. Ce qui faisait peur au début est maintenant devenu une simple multiplication de cinq nombres.

Toutefois, si on calculait le résultat tout de suite, on passerait à côté de deux trucs très importants. Laisse-moi commander un café et je te les montre ensuite. »

— « Comme ça, on n’a pas besoin de calculer la factorielle de 49 », s’enquit Christophe alors que le serveur déposait un énorme sundae au chocolat devant lui.

— « Non, car vois-tu, sans le crier trop fort, les mathématiciens sont de grands joueurs. Un de leurs passe-temps favoris est de tripoter les équations », dis-je pendant qu’atterrissait un modeste morceau de tarte aux pommes.

— « Crois-moi, c’est un jeu vraiment plaisant, où tous les coups sont permis. Il n’y a qu’une seule règle : il ne faut pas briser l’équilibre », poursuivis-je.

— « L’équilibre? », demanda un Christophe intrigué.

— « Oui! Par équilibre, je veux parler de la valeur d’une équation », répondis-je avant d’engloutir une première bouchée de tarte.

Je poursuivis presque sans respirer.

— « Par exemple, prenons une équation simple : dix divisé par deux. Toi et moi, on sait très bien ce que ça donne.

Mais supposons qu’on n’ait pas le droit de diviser. Comment peut-on trouver la réponse? »

— « En tripotant l’équation, bien entendu! », répondit Christophe sur un ton moqueur.

— « Oui, mais encore? », demandais-je?

— « Je ne sais pas moi, c’est toi qui me parles d’équilibristes qui ne savent pas diviser! », s’exclama Christophe pris de court.

— « Alors, suis-moi. Si je multiplie en haut et en bas par trois, est-ce que je brise l’équilibre? », lui demandais-je.

— « Non, car ça donne trente divisé par six », répondit-il.

— « Si je remplace le dix par deux fois cinq, est-ce que je brise l’équilibre? », continuais-je.

— « Non! », répondit aussitôt Christophe.

— « Si je change le deux et le cinq de place, est-ce que je brise l’équilibre? », demandais-je sans attendre.

— « Bien sûr que non! », confirma Christophe avec une pointe d’exaspération dans la voix.

— « Si je fonds ensemble le deux fois trois pour les remplacer par six, en haut et en bas, est-ce que je brise l’équilibre? »

— « Arrête de me poser la même question, c’est toujours non! », réussit à dire Christophe en engloutissant une autre bouchée de son dessert.

— « OK. Voici mon dernier tripotage. Si je peux multiplier par six en haut et en bas sans changer l’équilibre, je peux aussi retirer le six partout sans danger! », dis-je tout en biffant les six.

— « Et que reste-t-il?

Cinq! Regardes donc ça, c’est la réponse que l’on cherche et on l’a trouvé sans diviser! », ne pus-je me retenir de dire sur un air triomphant.

Après un court répit que j’utilisai pour avaler un second morceau de tarte, je revins à notre question de départ.

— « Regarde bien maintenant, on va s’amuser avec notre petite équation. »