Mathenclair

— « Comme ça, on n’a pas besoin de calculer la factorielle de 49 », s’enquit Christophe alors que le serveur déposait un énorme sundae au chocolat devant lui.

— « Non, car vois-tu, sans le crier trop fort, les mathématiciens sont de grands joueurs. Un de leurs passe-temps favoris est de tripoter les équations », dis-je pendant qu’atterrissait un modeste morceau de tarte aux pommes.

— « Crois-moi, c’est un jeu vraiment plaisant, où tous les coups sont permis. Il n’y a qu’une seule règle : il ne faut pas briser l’équilibre », poursuivis-je.

— « L’équilibre? », demanda un Christophe intrigué.

— « Oui! Par équilibre, je veux parler de la valeur d’une équation », répondis-je avant d’engloutir une première bouchée de tarte.

Je poursuivis presque sans respirer.

— « Par exemple, prenons une équation simple : dix divisé par deux. Toi et moi, on sait très bien ce que ça donne.

Mais supposons qu’on n’ait pas le droit de diviser. Comment peut-on trouver la réponse? »

— « En tripotant l’équation, bien entendu! », répondit Christophe sur un ton moqueur.

— « Oui, mais encore? », demandais-je?

— « Je ne sais pas moi, c’est toi qui me parles d’équilibristes qui ne savent pas diviser! », s’exclama Christophe pris de court.

— « Alors, suis-moi. Si je multiplie en haut et en bas par trois, est-ce que je brise l’équilibre? », lui demandais-je.

— « Non, car ça donne trente divisé par six », répondit-il.

— « Si je remplace le dix par deux fois cinq, est-ce que je brise l’équilibre? », continuais-je.

— « Non! », répondit aussitôt Christophe.

— « Si je change le deux et le cinq de place, est-ce que je brise l’équilibre? », demandais-je sans attendre.

— « Bien sûr que non! », confirma Christophe avec une pointe d’exaspération dans la voix.

— « Si je fonds ensemble le deux fois trois pour les remplacer par six, en haut et en bas, est-ce que je brise l’équilibre? »

— « Arrête de me poser la même question, c’est toujours non! », réussit à dire Christophe en engloutissant une autre bouchée de son dessert.

— « OK. Voici mon dernier tripotage. Si je peux multiplier par six en haut et en bas sans changer l’équilibre, je peux aussi retirer le six partout sans danger! », dis-je tout en biffant les six.

— « Et que reste-t-il?

Cinq! Regardes donc ça, c’est la réponse que l’on cherche et on l’a trouvé sans diviser! », ne pus-je me retenir de dire sur un air triomphant.

Après un court répit que j’utilisai pour avaler un second morceau de tarte, je revins à notre question de départ.

— « Regarde bien maintenant, on va s’amuser avec notre petite équation. »

— « J’ai une question facile pour toi, Christophe. Pourquoi les gens utilisent-ils des trucs comme ‘alp’ ou ‘fds’ quand ils clavardent? », dis-je après avoir refermé la carte des desserts.

— « Parce que c’est beaucoup plus court d’écrire ‘fds’ que d’écrire ‘fin de semaine’. », répondit-il.

— « Hé oui! Et laisse-moi te dire que les mathématiciens ne sont pas plus fous que les internautes. Ils ont leurs raccourcis bien à eux. », rétorquai-je.

Je poursuivis en prenant mon crayon.

— « L’opérateur factoriel… si simple et pourtant si inconnu. Je ne comprend pas pourquoi on ne nous montre pas ça dès le secondaire. », soupirai-je.

Christophe m’écoutait, je n’en avais aucun doute. Toutefois, il ne me regardait plus. Il avait les yeux rivés sur le bout de papier que de légères bourrasques de vent tentaient de nous voler, mais que mon verre de bière maintenait fermement sur la table.

— « Voici ce que vaut factorielle de 3… et factorielle de 5. »

Après avoir terminé d’écrire, je tournai la feuille vers Christophe.

— « Tu piges ? »

La réponse ne se fit pas attendre très longtemps.

— « Oui, j’ai compris. Tu multiplies tous les nombres en descendant jusqu’à 1. Factorielle de trois est égale à trois fois deux fois un, c’est-à-dire six. C’est pas très compliqué! », s’exclama Christophe avec un sourire qui en disait long.

— « Ça ressemble drôlement à un raccourci. Pas mal plus simple d’écrire “20!” que d’écrire toute la liste de multiplications de 20 jusqu’à 1. Est-ce tout ce qu’il y a à savoir sur l’opérateur factoriel? », me demanda-t-il.

— « Non. Je veux te faire remarquer que les affaires grossissent rapidement avec l’opérateur factoriel. Par exemple, factorielle de 5 vaut 120 et factorielle de 7 donne 5040. »

Je repris la feuille pour calculer la factorielle de 10.

— « Wow! 3,628,800… ça va vite pas à peu près. », reprit Christophe après avoir vérifié mes multiplications.

Il pointa alors la formule pour trouver le nombre de combinaisons au 6/49.

— « Comment on va faire pour calculer la factorielle de 49 si factorielle de 10 donne plus de trois millions? Ça va nous prendre toute une calculatrice! », me demanda-t-il, soudainement inquiet.

— « Rassure-toi Christophe, je vais te montrer quelque chose de vraiment beau avec l’opérateur factoriel. Regarde. »

Je commençai par écrire la factorielle de 5 suivie de la factorielle de 6 juste en dessous, de façon à lui faire voir que la factorielle de 6 comprend tous les nombres de la factorielle de 5. Ainsi, il pouvait réaliser que la factorielle de 6 est aussi égale à 6 multiplié par la factorielle de 5.

Je repris le même exercice, mais avec la factorielle de 4 pour lui faire voir une autre façon d’écrire la factorielle de 6.

— « T‘as raison, c’est tordu, mais c’est beau. », dit-il. « Je n’y avais pas pensé. La factorielle de 6 comprend la factorielle de 5 ou la factorielle de 4. Ou même de 3 ou de 2, c’est vraiment comme on veut. Mais je ne vois pas comment ça va nous aider à calculer la factorielle de 49. »

— « Qui t’a dit qu’on aurait à calculer la factorielle de 49? », dis-je alors que notre serveur s’amenait pour prendre note des desserts que nous voulions déguster?